Conjunto

En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.

Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:

• AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:

• P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

A Pensar

Estos son ejercicios asignados por el catedrático al final de la clase para hacer que nuestros cerebros trabajen, algunas veces son ejercicios con sumas, otras sobre contar cuantas figuras hay en una imagen o incluso los tan famosos “sudoku”. Cualquiera que sea, son divertidos de resolver cuando se cuenta con el tiempo debido. 

Clase Regular

Como cualquier clase, hemos aprendido y hecho ejercicios acerca de las tablas de verdad. Hemos utilizado muchos ejercicios del libro de trabajo, y realizamos un laboratorio en grupos de tres integrantes. En el cual resolvíamos problemas de disyunción y conjunción. Pero por un momento confundimos las fórmulas que existen para evaluar las proposiciones. 

Bicondicional

En matemáticas y lógica, un bicondicional, (también llamado equivalencia o doble implicación, en ocasiones abreviado en español como ssi), es una proposición de la forma «P si y solo si Q» y se admite el bicondicional es verdadero en el caso de que ambos componentes tengan el mismo valor vertitativo. En otras palabras, que si P ocurre entonces también ocurre Q; y viceversa: si Q ocurre entonces también ocurre P.

Otra forma de expresar el bicondicional es decir que Q es una condición necesaria y suficiente para P. También se conoce con el nombre de complicación.

Negación de una Proposición

En lógica y matemática, la negación, también llamada complemento lógico, es una operación sobre proposiciones, valores de verdad, o en general, valores semánticos. Intuitivamente, la negación de una proposición es verdadera cuando dicha proposición es falsa, y viceversa. En lógica clásica la negación está normalmente identificada con la función que cambia su valor de verdadero a falso y viceversa. En Lógica intuicionista, de acuerdo a la interpretación de Brouwer–Heyting–Kolmogorov, la negación de una proposición p es la proposición cuyas pruebas son las refutaciones de p. 

Condicional Lógica

El condicional material, también conocido como implicación material, condicional funcional de verdad o simplemente condicional, es una constante lógica que conecta dos proposiciones. El condicional material intenta ser la versión formal del condicional en el lenguaje natural, el cual se expresa por medio de palabras como las siguientes:

·         Si llueve, entonces voy al cine.

·         Voy al cine si llueve.

·         Cuando llueve, voy al cine.

Simbólicamente, el condicional material se suele denotar de varias maneras. En orden descendente de frecuencia:

{\displaystyle A\to B}

{\displaystyle A\supset B}

{\displaystyle A\Rightarrow B}

Donde A y B son proposiciones cualesquiera. Las variables A y B se conocen respectivamente como el antecedente y el consecuente del condicional.

En lógica proposicional, el condicional material es una función de verdad binaria, que devuelve falso cuando A es verdadera y B es falsa, y devuelve verdadero en cualquier otro caso. En lógica de predicados, puede ser visto como una relación de subconjunto entre la extensión de predicados (posiblemente complejos).

Conjunción

En razonamiento formal, una conjunción lógica ( ${\displaystyle \land }$  ) entre dos proposiciones es un conector lógico cuyo valor de la verdad resulta en cierto sólo si ambas proposiciones son ciertas, y en falso de cualquier otra forma. Existen diferentes contextos donde se utiliza la conjunción lógica.

En lenguajes formales, la palabra "y" se utiliza en español para simbolizar una conjunción lógica. La noción equivalente en la teoría de conjuntos es la intersección ( ${\displaystyle \cap }$  ). En álgebra Booleana, la conjunción como operador binario entre dos variables se representa con el símbolo de punto medio ( · ).

En electrónica, una puerta AND es una puerta lógica que implementa la conjunción lógica.

Disyunción

En razonamiento formal, una disyunción lógica ( ${\displaystyle \lor }$  ) (en específico, una disyunción inclusiva) entre dos proposiciones es un conector cuyo valor de la verdad resulta en falso sólo si ambas proposiciones son falsas, y en cierto de cualquier otra forma. Existen diferentes contextos dónde se utiliza la disyunción lógica.

En lenguajes formales, la palabra "ó" se utiliza en español para simbolizar una disyunción lógica. Se debe distinguir entre el "ó" inclusivo y el "ó" exclusivo, este artículo se refiere al "ó" inclusivo. La noción equivalente en la teoría de conjuntos es la unión ( ${\displaystyle \cup }$  ). Enálgebra Booleana, la disyunción como operador binario entre dos variables se representa con el símbolo de más ( + ).

En electrónica, una puerta OR es una puerta lógica que implementa la disyunción lógica.

Proposiciones

En filosofía y lógica el término proposición se usa para referirse a:

• Las entidades portadoras de los valores de verdad.
• Los objetos de las creencias y de otras actitudes proposicionales.
• El significado de las oraciones declarativas o enunciativas, como «el Sol es una estrella».

Intuitivamente una proposición expresa un contenido semántico a la que bajo cierto procedimiento acordado o prescrito es posible asignarle un valor de verdad (usualmente "cierto" o "falso", aunque en lógica formal se admiten otros valores de verdad diferentes).

Una proposición es una cadena de signos expresados en un determinado lenguaje. En un lenguaje natural, esos signos usualmente son sonidos o caracteres escritos, mientras que un tipo de lenguaje formalizado pueden ser signos arbitrarios. Dado que los lenguajes son tipos de estructuras combinatorias que admitidamente pueden representar entidades de la realidad, se admite que las proposiciones son cadenas de signos a las que es posible emparejar con objetos reales. Es importante notar que lo que hace de una cadena de signos una proposición, es que sea interpretable (ya que existen por ejemplo cadenas de signos u oraciones de un lenguaje que carecen de un referente o interpretación bien definidos).

Día de parcial

Llegó el día del parcial y todos con los nervios de saber que vendría, se discutía acerca de que definía una oración en "Inductiva, Deductiva o Analógica". Al final nos dimos cuenta que el examen no estaba difícil (para el que estudió), pero se pudo poner en práctica todo lo aprendido. Y aprendimos muchos a "tener más cuidado" en cuanto a dejar la respuesta explícitamente. Ya que se nos restaron puntos en las primeras series por haber no haber hecho eso.

Pero, lección aprendida. 

Clase Regular

En la clase de este día pudimos poner en práctica una de las estrategias aprendidas, que fue la de resolver hacía atrás, para el cual utilizamos el libro de problemas y que con la ayuda del licenciado fuimos resolviendo paso a paso. A mi parecer esta estrategia es muy interesante porque se llega a la respuesta deseada de una manera sencilla relativamente en comparación con otras estrategias.

Al final de la clase hicimos uno de los tan famosos "a pensar". 

Kakuro

Kakuro es una clase de enigma lógico que a menudo es referido como una transcripción matemática del crucigrama. Básicamente, los enigmas Kakuro son problemas de programación lineal, y se pueden resolver utilizando las técnicas de matriz matemática, aunque sean resueltos típicamente a mano. 

Sudoku

En japonés: 数独, sūdoku, es un juego matemático que se publicó por primera vez a finales de la década de 1970 y se popularizó en Japón en 1986, dándose a conocer en el ámbito internacional en 2005 cuando numerosos periódicos empezaron a publicarlo en su sección de pasatiempos.

Estrategia Ecuación de Primer Grado

La estrategia de utlizar una ecuación de primer grado es de suma importancia ya que múltiples problemas de las ciencias se plantean en términos de una ecuación.

Para verlo de una mejor manera veamos èste ejemplo:

• En un circo el precio de admisión es de Q25.00 para adultos y Q10.00 para niños. Si el número total de espectadores fue 397 y la recaudación de Q5,680.00 ¿Cuántos adultos y cuántos niños asistieron?

(Cantidad de niños) (Costo del boleto de niños) + (Cantidad de adultos) (Costo del boleto de adultos) = (Total Recaudado)

Entonces:

Q25.00 (x) + Q10.00 (y) = Q5,680.00

X + Y = 397
397 – Y = X

Estrategia Proporcionalidad o Porcentajes

• Proporción: Se le denomina proporción a la igualdad de dos razones.
• Porcentaje: Es una razón en la cual el consecuente es 100.
• Razón: Es el resultado de comprar dos cantidades y será siempre un número real.

Ejemplo: 

Se vendió un motor industrial obteniendo una ganancia de Q,3,450, lo que representó el 15% del costo. Cuánto costó el motor industrial y en cuánto de vendió?

                               3450            X  

                               15%          100%   = 23,000 (Monto Vendido)

                              23,000 - 3450 = 19,550 (Costo)

La regla de 3 simple es un método muy utilizado, sin embargo siempre hay que tratar de descubrir nuevos métodos.

Estrategia Encontrar un Patrón

La estrategia de buscar un patrón es útil cuando en el problema fácilmente puede identificarse una semejanza entre los distintos datos que nos dan. Cuando nuestra mente identifica inmediatamente algo similar entre el dato anterior con el siguiente, rápidamente pensamos en armar de una manera una "fórmula" o, como bien su nombre lo dice, un patrón para así poder definir de una manera más rápida la respuesta del problema que se nos presenta. 

Ejemplo:
A continuación daremos un ejemplo de un problema que contiene un patrón en sus datos para que por medio de ese patrón encontremos la solución. Se aplicarán los 4 pasos de Polya.

• Carlos determinó que al invertir Q2.00 obtenía una utilidad de Q5.00; al invertir Q3.00 obtenía una utilidad de Q10.00; al invertir Q4.00 obtenía una utilidad de Q17.00; al invertir Q5.00 obtenía una utilidad de Q26.00, ¿qué utilidad obtiene Carlos al invertir Q25.00? 

INVERSIÓN (Q): 2 - UTILIDAD (Q): 5

INVERSIÓN (Q): 3 - UTILIDAD (Q): 10

INVERSIÓN (Q): 4 - UTILIDAD (Q): 17

INVERSIÓN (Q): 5 - UTILIDAD (Q): 26

  

INVERSIÓN (Q): 25 - UTILIDAD (Q): 626

Patrón encontrado: Inversión elevada al cuadrado + 1

Estrategia Cuadro o Lista

para comprender en su totalidad la estrategia de hacer una lista o cuadro para resolver problemas, presentaremos a continuación unos ejemplos que nos muestran los pasos y procedimientos para llevar a cabo este método.

Ejemplo:

Una dama está leyendo un libro de 246 páginas. Cada noche lee 8 páginas en total, pero a partir de la segunda noche vuelve a leer una página de la noche anterior, para darle seguimiento a la lectura. ¿Cuántas noches tardará en leer todo el libro?

Resolución:
hacer una tabla con tres columnas cuyos títulos sean: "No. de noche", "Páginas leídas" y "Total de páginas leídas"; comenzar con la noche número 1 la cantidad de 8 páginas leídas y un total, por el momento, de 8 páginas leídas; seguido de la noche número 2 la cantidad de 7 páginas leídas y un total, hasta ahora de 15 páginas (se le sumaron a las primeras 8 las 7 siguientes); continuar con la noche número 3 la cantidad de 7 páginas leídas esa noche y un total de 22 páginas leídas, y así sucesivamente hasta encontrar en la columna "TOTAL" el número 246 (que es el total de páginas que posee el libro completo. 

Estrategia Diagrama o Figura

La estrategia de hacer una figura o diagrama nos facilita el entendimiento del problema, donde podemos dibujar, cuadros, círculos, o cualquier otra figura que nos ayude a entender el problema y darle solución.

Ejemplo:

Las instrucciones para un trabajo en madera especifican que se requieren 3 piezas de dicho material. La mas larga de ellas debe tener el doble de longitud que la del tamaño medio y la más corta debe ser 10 pulgadas mas corta que la mediana. Mario Andrés posee una pieza de 70 pulgadas que quiere utilizar. De qué longitud debe ser cada pieza?

Ensayo y Error

La expresión ensayo y error, también conocida como prueba y error, es un método heurístico para la obtención de conocimiento, tanto proposicional como procedural. Consiste en probar una alternativa y verificar si funciona. Si es así, se tiene una solución. En caso contrario (resultado erróneo) se intenta una alternativa diferente.

• ·        Orientado a soluciones. No se intenta descubrir por qué funciona una solución. Solo se aspira a lograrla.

·        Problema específico. No se trata de generalizar soluciones a otros problemas.
·        No óptimo. Se enfoca a encontrar solo una solución: no todas, ni la mejor.
·        Necesidad de conocimiento mínimo. Se procede en temas de los que el conocimiento en la materia, disciplina o especialidad es exiguo o nulo, por ejemplo en una investigación científica.
·        Costoso. Se requieren diversos medios para realizarse, pero no siempre es seguro un resultado positivo.

4 Pasos de Polya

Para resolver problemas no existen fórmulas mágicas; no hay un conjunto de procedimientos o métodos que aplicándolos lleven necesariamente a la resolución del problema (aún en el caso de que tenga solución). Pero de ahí no hay que sacar en consecuencia una apreciación ampliamente difundida en la sociedad: la única manera de resolver un problema sea por "ideas luminosas", que se tienen o no se tienen.

Es ya clásica, y bien conocida, la formulación que hizo Polya (1945) de las cuatro etapas esenciales para la resolución de un problema, que constituyen el punto de arranque de todos los estudios posteriores:

• Comprender el problema: Parece, a veces, innecesaria, sobre todo en contextos escolares; pero es de una importancia capital, sobre todo cuando los problemas a resolver no son de formulación estrictamente matemática. Es más, es la tarea más difícil, por ejemplo, cuando se ha de hacer un tratamiento informático: entender cuál es el problema que tenemos que abordar, dados los diferentes lenguajes que hablan el demandante y el informático. 

• Trazar un plan para resolverlo: hay que plantearla de una manera flexible y recursiva, alejada del mecanicismo.

• poner en práctica el plan: También hay que plantearla de una manera flexible y recursiva, alejada del mecanicismo. Y tener en cuenta que el pensamiento no es lineal, que hay saltos continuos entre el diseño del plan y su puesta en práctica. 

• Comprobar los resultados: Es la más importante en la vida diaria, porque supone la confrontación con contexto del resultado obtenido por el modelo del problema que hemos realizado, y su contraste con la realidad que queríamos resolver.